Monte Carlo: definición, conceptos. Historia. El renacimiento del método de
“muestreo estadístico” en el contexto del proyecto Manhattan. Algunas
cuestiones éticas. Realización de experimentos “no computacionales”.
Introducción al muestreo por Monte Carlo. Velocidad de convergencia de un
cálculo por Monte Carlo comparado con un método numérico. Estimación de
volúmenes m-dimensionales por valores medios y su relación con los problemas
de muchas variables.
Generadores de números pseudoaleatorios. Generador congruencial lineal.
Tests de equidistribución y de interdependencia. Buenos y malos generadores,
ejemplos.
Relaciones de recurrencia para la obtención de resultados durante el cálculo
por Monte Carlo, estimadores de la media y de la varianza. Control del error
de aproximación, la ley débil de los grandes números y el teorema del límite
central. Intervalos de confianza.
Eficiencia del muestreo: optimización de algoritmos y conceptos para la

reducción de varianza. Estructura temporal de un cálculo por Monte Carlo: set-
up, replicaciones y presentación de resultados.

*El orden de las unidades no refleja necesariamente el orden de la exposición de los temas.

Espacio de probabilidades: experimento aleatorio, eventos y resultados.
Probabilidades, definiciones, propiedades. Probabilidades condicionales,
teorema de la probabilidad total, independencia, teorema de Bayes y cálculo
de probabilidades a posteriori. Conteo. Experimentos binomiales.
Variables aleatorias. Función de distribución acumulada. Función densidad de
probabilidad. Esperanza o valor esperado. Distribuciones y densidades de
probabilidad conjunta. Momentos. Varianza y Covarianza. Densidades de
probabilidad más frecuentes para variables aleatorias continuas y discretas,
esperanza y varianza. Leyes y teoremas asintóticos, desigualdad de
Chebyshev, teorema del límite central.
La Estadística y su modo de aplicación frente a los datos. Representaciones y
síntesis de los datos. Métodos de selección de muestra. Modelos estadísticos,
proceso de Poisson. Conceptos básicos de testeo de hipótesis.

Problema de la aguja de Buffon. Solución analítica. Realización experimental
del problema de Buffon con una grilla de segmentos paralelos y palitos de
madera, paralelización del experimento en grupos y obtención de una
aproximación al número pi. Realización computacional del problema de
Buffon y obtención de una estimación del número pi. Muestreo del área del
círculo y estimación de integrales, ejemplos de reducción de varianza,
convergencia vs. número de replicaciones.
Probabilidades geométricas y geometría integral: concepto de medida e
integrales de Lebesgue. Extensiones del problema de la aguja de Buffon.
Densidad y medida invariantes en el plano para puntos, rectas, pares de
puntos. Fórmula de Crofton. Relación de Cauchy para la cuerda media.
Experimentos no computacionales.
Expresión para el cálculo de medida de la intersección al azar de objetos
geométricos. Ejemplos en el espacio Euclidiano de 3 dimensiones. Volumen del
conjunto paralelo de un conjunto convexo compacto. Procesos de Poisson
homogéneos. Conjuntos convexos congruentes en el plano.
Generalización del concepto de aleatoreidad o “randomness”, paradoja de
Bertrand. Diferentes tipos de aleatoreidad. Distribuciones isotrópicas:  μ–
randomness. Distribuciones pesadas: ν-randomness. Distribuciones por 2 puntos:
λ-randomness. Distribuciones de rayos: I-randomness. Distribuciones de
distancias entre pares de puntos. Distribuciones en superficie: S-randomness.
Relaciones entre las distintas distribuciones. Distribuciones para una esfera y un
círculo. Momentos de para una esfera de diámetro d. Distribución isotrópica
para una elipse. Distribución de cuerdas isotrópica para un elipsoide de
revolución (esferoide). Límites para la varianza relativa de la distribución de cuerdas
de un cuerpo convexo. Relación geométrica entre la distribución μ y
la S.

Muestreo por Monte Carlo: estimadores de la media y varianza de una función.  Expresión del intervalo de confianza. Cálculo por Monte Carlo de expresiones  integrales: muestreo uniforme y no uniforme equivalente. Elección de la  densidad que provea una reducción de la varianza. Cadenas de Markov para  muestreo de variables aleatorias dependientes. Algoritmo general de muestreo uniforme y evaluación de expresiones integrales. 

Métodos de muestreo (parte 1). Método de la transformada inversa,  expresiones para funciones de densidad continuas y discretas. Método general  para una distribución discreta cualquiera. Muestreo por composición de  variables aleatorias: método de Box-Muller para variables aleatorias  Gaussianas. Casos particulares: muestreo de la suma de dos variables  aleatorias, muestreo de funciones de potencias. Muestreo de una densidad de  probabilidad que es suma arbitraria de funciones. 

Métodos de muestreo (parte 2). Técnicas de aceptación-rechazo. Método por  pares de muestras uniformes para densidades acotadas. Algoritmo de Von  Neumann para el muestreo del seno y del coseno de un ángulo. Muestreo de  una densidad uniforme en coordenadas esféricas. Algoritmo de Metropolis  M(RT)2: concepto de probabilidades de transición y principio del balance  detallado, criterios de aceptación para la transición. Figura de mérito para la  evaluación de la eficiencia de un Monte Carlo. Monte Carlo análogo vs. no  análogo. Técnicas de reducción de varianza: muestreo por importancias,  ejemplos. Muestreo correlacionado: variables comunes y antitéticas, ejemplo.  Muestreo por variables de control. 

Transporte de partículas (parte 1). Diagrama de flujo básico de un código de  transporte: inicio, mediciones (tallies), transporte, colisiones y elección de  nuevos valores de las variables aleatorias, creación de nuevas partículas, fin de  las replicaciones. Ejemplo: fuente puntual y monoenergética de neutrones.  Muestreo del camino libre entre colisiones, ecuaciones de transporte entre  colisiones, cosenos directores, cambio de dirección y energía luego de la  colisión, detección y escape. 

Transporte de partículas (parte 2). Secciones eficaces de interacción. Procesos  típicos para neutrones y fotones. Elección del blanco para la interacción en un  material compuesto. Camino óptico de la partícula en una geometría: 

muestreo del punto de colisión. Geometría basada en ecuaciones implícitas,  regiones del espacio, combinatoria de regiones. Probabilidades condicionales  a la distancia al borde para la colisión, convolución con la densidad de  probabilidad de distancias desde un punto. Probabilidad de escape en un  material puramente absorbente. 

Estimadores del transporte de radiación: estimador del flujo colisional,  estimador del flujo por longitud total de trazas, estimadores de corriente a  través de un área. 

Métodos de reducción de varianza en el transporte de partículas: supresión de  absorciones o captura implícita, ruleta rusa, ruleta rusa y splitting,  transformación exponencial. 

Modelado. Definiciones de sistema, elementos, atributos, estado del sistema y  eventos discretos y continuos. Concepto de modelo, objetivos, simplicidad y  realismo. Validación del modelo, tipos de soluciones: analítica, numérica o  estocástica (Monte Carlo).  

Simulaciones computacionales. Beneficios de su implementación. Clasificación  de los modelos. Procesos estocásticos. Ejemplos de procesos estocásticos.  Física estadística e implementación del algoritmo de Metropolis para la  simulación de ensambles de partículas confinadas.  

Aplicaciones del método Monte Carlo en biofísica de las radiaciones. Microdosimetría. Cadena de procesos estocásticos y variables aleatorias asociadas. Teoría de la acción dual de la radiación y simulación de la  evolución de lesiones subletales como un proceso estocástico de creación reparación-fijación-combinación de a pares. 

Determinación de la distribución de cuerdas de una estructura biológica a  partir de imágenes de microscopio, evaluación de parámetros estereológicos  de la estructura. Determinación de la distribución microscópica de dosis por  trazas de iones, BNCT, protonterapia.  

Presentación de pautas generales para la realización de los trabajos finales,  discusión, propuestas y presentaciones individuales. Consultas, seguimiento de trabajos.